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\title[线性微分方程组]{《常微分方程》第六章：线性微分方程组}
\author[]{LQW}
%\institute[XX大学]{XX大学\quad 数学与统计学院\quad 数学与应用数学专业}
%\date{2025年6月}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

% 封面页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% 目录页
%\begin{frame}{目录}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

%\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{目录}

\begin{enumerate}
\item[6.1.]   一般理论：\\ {\color{red}验证齐次线性微分方程组的基本解组。用基解矩阵表示通解。} % &1,2,3&1
\item[6.2.]   常系数线性微分方程组：\\ {\color{red}求解常系数线性微分方程组。} % &1,2,3,4&1,2,3
\item[6.3.]   高阶线性微分方程组：\\ {\color{red}求解常系数高阶线性微分方程。} % &3,5,7&8,10

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1.a. 线性微分方程组的解的存在和唯一性定理 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定理：设 $a_{ij}(x)$ 和 $f_i(x)$ 都是区间 $a<x<b$ 上的连续函数。则线性微分方程组的初值问题
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} y_1(x) \\ \vdots \\ y_n(x) \end{bmatrix} 
&=&\begin{bmatrix} a_{11}(x) &\cdots & a_{1n}(x) \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}(x) &\cdots & a_{nn}(x) \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} y_1(x) \\ \vdots \\ y_n(x) \end{bmatrix}
+\begin{bmatrix} f_1(x) \\ \vdots \\ f_n(x) \end{bmatrix}, \\ 
\begin{bmatrix} y_1(x_0) \\ \vdots \\ y_n(x_0) \end{bmatrix} 
&=& \begin{bmatrix} y_{10} \\ \vdots \\ y_{n0} \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}
在区间 $a<x<b$ 上的解是存在和唯一的。
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1.b. 存在和唯一性定理的证明 }

\begin{enumerate}

\item  微分方程组右边的向量值函数 
\begin{eqnarray*}
\vec{f} (x,\vec{y})
:= \begin{bmatrix} a_{11}(x) &\cdots & a_{1n}(x) \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}(x) &\cdots & a_{nn}(x) \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}
+\begin{bmatrix} f_1(x) \\ \vdots \\ f_n(x) \end{bmatrix},  
\end{eqnarray*}
当 $x\in [a+\delta, b-\delta]$ 时，对 $\vec{y}$ 满足利普希茨条件：
\begin{eqnarray*}
\lVert  \vec{f}(x,\vec{y}) - \vec{f}(x,\vec{z}) \rVert 
= \lVert A(x) \rVert \cdot  \lVert \vec{y} -\vec{z} \rVert \le L\cdot \lVert\vec{y} -\vec{z} \rVert. 
\end{eqnarray*}

\item  定义皮卡序列。

\item  证明收敛性。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1.1.1. 齐次线性微分方程组}

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定理6.1：设 $\vec{y}(x):=( y_1(x), \cdots, y_n(x))^t$ 是 $n$ 个未知函数构成的列向量。
则齐次线性微分方程组 $$\frac{d\vec{y}}{dx}=A(x)\vec{y}$$ 的解向量（每个解向量有$n$个函数）全体 $\mathcal{S}$ 是一个 $n$ 维向量空间。} 

\item  证明：
\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  若 $\vec{y}_1$ 与 $\vec{y}_2$ 都是 $\frac{d\vec{y}}{dx}=A(x)\vec{y}$ 的解，则 $c_1\vec{y}_1+c_2\vec{y}_2$ 也是 $\frac{d\vec{y}}{dx}=A(x)\vec{y}$ 的解。因此 $\mathcal{S}$ 是一个向量空间。

\item  由存在和唯一性定理，任意常数向量 $\vec{y}_0\in \mathbb{R}^n$, 都存在唯一的解 $\vec{y}\in \mathcal{S}$ 使得 $\vec{y}(x_0)=\vec{y}_0$. 
这样就有一个一一对应 $\mathbb{R}^n\to \mathcal{S}$. 可证这是一个向量空间的同构。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1.1.2. 解函数全体与初值全体之间的一一对应 }

\begin{figure}\centering 
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.8\textwidth]{linear_ode_solution_space.png}
\caption{齐次线性微分方程的初值问题存在唯一解}
\end{figure}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1.1.3. 基本解组与朗斯基行列式的概念 }

\begin{itemize}

\item  定义：解空间 $\mathcal{S}$ 的一个基称为一个基本解组，
{\small 
\begin{eqnarray*}
\vec{y}_1(x) = \begin{bmatrix} y_{11}(x) \\ y_{21}(x) \\ \vdots \\ y_{n1}(x) \end{bmatrix}, \,\,
\vec{y}_2(x) = \begin{bmatrix} y_{12}(x) \\ y_{22}(x) \\ \vdots \\ y_{n2}(x) \end{bmatrix}, \,\,
\cdots, 
\vec{y}_n(x) = \begin{bmatrix} y_{1n}(x) \\ y_{2n}(x) \\ \vdots \\ y_{nn}(x) \end{bmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\item  定义：$n$ 个解向量排列而成的行列式称为朗斯基行列式。
{\small 
\begin{eqnarray*}
W(x)= \begin{vmatrix} 
y_{11}(x) & y_{12}(x) & \cdots & y_{1n}(x) \\ 
y_{21}(x) & y_{22}(x) & \cdots & y_{2n}(x) \\ 
\vdots & \vdots & & \vdots \\ 
y_{n1}(x) & y_{n2}(x) & \cdots & y_{nn}(x) \\ 
\end{vmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1.1.4. }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 定理6.2：$n$ 阶齐次线性方程组 $\frac{d \vec{y}}{dx}=A(x)\vec{y}$ 的 $n$ 个解向量是基本解组的充分必要条件是它的朗斯基行列式不等于零。} 

\item  证明：
\begin{enumerate}
\item  主要是证明刘维尔公式
\begin{eqnarray*}
W(x) = W(x_0) \exp\left[ \int_{x_0}^x \text{tr}(A(x)) dx \right].
\end{eqnarray*}
其中矩阵的迹 $$\text{tr}(A(x)) = a_{11}(x) + a_{22}(x) + \cdots + a_{nn}(x). $$ 

\item  通过对行列式直接求导，可以证明成立微分方程
\begin{eqnarray*}
\frac{dW(x)}{dx} =  \text{tr}(A(x)) W(x).
\end{eqnarray*}



\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1.1.5. 定理6.2 在 $n=2$ 时的情形 }

\begin{enumerate}

\item  齐次线性方程组与初值条件为 
$$\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix} 
=\begin{bmatrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) \\ a_{21}(x) & a_{22}(x) \end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix}, \,\,\,\, 
\begin{bmatrix} y_1(x_0) \\ y_2(x_0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{10} \\ y_{20} \end{bmatrix}.
$$

\item  设有两个解向量 $\vec{y}_1(x)=\begin{bmatrix} y_{11}(x) \\ y_{21}(x) \end{bmatrix}$ 与 $\vec{y}_2(x)=\begin{bmatrix} y_{12}(x) \\ y_{22}(x) \end{bmatrix}$. 
记朗斯基行列式 
$W(x)= \begin{vmatrix} y_{11}(x) & y_{12}(x)\\ y_{21}(x) & y_{22}(x) \end{vmatrix}$. 
则有刘维尔公式 
$$W(x)=W(x_0)\exp\left( \int_{x_0}^x \text{tr}(A(x))dx \right).$$

\item  可见只有当 $W(x_0)=0$ 时，才有 $W(x)=0$. 

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1.1.6. 例子1 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：验证微分方程组
$$\frac{d}{dx} \begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix} 
=\begin{bmatrix} \cos^2x & \frac{1}{2}\sin 2x -1 \\ \frac{1}{2}\sin 2x +1 & \sin ^2 x \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix}
$$
的通解为 
$$ \vec{y}:=\begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix} 
=c_1\begin{bmatrix} e^x\cos x \\ e^x\sin x \end{bmatrix} 
+c_2\begin{bmatrix} -\sin x \\ \cos x \end{bmatrix} 
=: c_1\vec{y}_1 + c_2\vec{y}_2.
$$
}

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  验证这两个向量都是原线性方程组的解。
\item  计算朗斯基行列式，验证这两个向量线性无关，从而是解空间的一个基。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1.1.7.  }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问：什么是基解矩阵？}

\item  答：基本解组的解向量按照列向量方式排列成一个矩阵，称为基解矩阵，记为 $\Phi(x)$. 这时，通解可以表示成 
$$\vec{y}=\Phi(x)\vec{c} = \begin{bmatrix} \vec{y}_1(x) &\cdots & \vec{y}_n(x) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}, $$
其中 $c_1,c_2,\cdots, c_n$ 是任意常数。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1.1.8.  }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}推论2：设 $\Phi(x)=\begin{bmatrix} y_{11}(x) & y_{12}(x) \\ y_{21}(x) & y_{22}(x) \end{bmatrix}$ 是齐次线性微分方程
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) \\ a_{21}(x) & a_{22}(x) \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}
的基解矩阵，设 $C=\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{bmatrix}$ 是可逆矩阵，
则 $\Psi(x) = \Phi(x)C = 
\begin{bmatrix} y_{11}(x) & y_{12}(x) \\ y_{21}(x) & y_{22}(x) \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{bmatrix}$ 
也是这个齐次线性微分方程的基解矩阵。
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1.2.1. 非齐次线性微分方程组 }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}引理6.4. 设 $\Phi(x)$ 是齐次线性微分方程 $$\frac{d\vec{y}}{dx}=A(x)\vec{y}$$ 的一个基解矩阵。设 $\vec{\varphi}^*(x)$ 是非齐次线性微分方程 $$\frac{d\vec{y}}{dx}=A(x)\vec{y}+\vec{f}(x)$$ 的一个特解。
则这个非齐次线性微分方程的任意解函数 $\vec{\varphi}(x)$ 可以写为 $\Phi(x)\vec{c} + \vec{\varphi}^*(x)$ 的形式，其中 $\vec{c}$ 是 $n$ 个任意常数。 }

\item  证明：非齐次方程的任意解与特解的差 $\vec{\varphi}(x) - \vec{\varphi}^*(x)$ 是齐次方程的解。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1.2.2.  }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问：什么是常数变异法？} 

\item  答：设齐次线性微分方程 $$\frac{d\vec{y}}{dx}=A(x)\vec{y}$$ 的一个基解矩阵是 $\Phi(x)$， 则非齐次线性微分方程 $$\frac{d\vec{y}}{dx}=A(x)\vec{y}+\vec{f}(x)$$ 的解函数可以写为 $\Phi(x)\vec{c}(x)$ 的形式，其中 $\vec{c}(x)$ 是 $n$ 个待定的未知函数。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1.2.3. 例子2 }

\begin{itemize}\itemsep0.5em 

\item   {\color{red} 问题：在例子1的基础上，求解非齐次线性微分方程组的初值问题：
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx} \begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix} 
&=& \begin{bmatrix} \cos^2x & \frac{1}{2}\sin 2x -1 \\ \frac{1}{2}\sin 2x +1 & \sin ^2 x \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \cos x \\ \sin x \end{bmatrix},  \\ 
\begin{bmatrix} y_1(0) \\ y_2(0) \end{bmatrix}&=& \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}.
\end{eqnarray*}
}
}

\item  解答思路：使用常数变异法，设所求的解具有如下形式，代入原方程，求出 $c_1(x)$ 和 $c_2(x)$: 
 {\footnotesize 
 $$
 \begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e^x\cos x &  -\sin x \\ e^x\sin x & \cos x \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} c_1(x) \\ c_2(x) \end{bmatrix}.
$$
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1.2.4. 例子3 }

\begin{itemize}\itemsep0.5em

\item  {\color{red} 问题：求齐次线性微分方程组的基解矩阵：%设自变量取值区间为 $x>0$, 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx} \begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & \frac{1}{x} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix} .
\end{eqnarray*}
}
}

\item  解答：
\begin{enumerate}

\item  第二个方程为 $y_2' = y_2/x$, 求解可得 $y_2=kx$, 其中 $k$ 为任意常数。
\item  当 $y_2=0$ 时，第一个方程成为 $y_1'=y_1$, 求得特解 $y_1=e^x$. 
\item  当 $y_2=x$ 时，第一个方程成为 $y_1'=y_1+x$, 求得 $y_1=-x-1$. 
\item  因此原方程的两个解向量如下，由此可以写出基解矩阵。 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} y_{11} \\ y_{21} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^x \\ 0 \end{bmatrix}, \,\, 
\begin{bmatrix} y_{12} \\ y_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x-1 \\ x \end{bmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}
%\begin{eqnarray*}
%\Phi(x) = \begin{bmatrix} e^x & -x-1 \\ 0 & x \end{bmatrix}.
%\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2. 常系数线性微分方程组  }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：什么是常系数线性微分方程组？}

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  是指系数矩阵 $A$ 是常数矩阵时的线性微分方程组， $$\frac{d\vec{y}}{dx} = A\vec{y} + \vec{f}(x). $$

\item  当 $\vec{f}(x)=\vec{0}$ 时，成为常系数的齐次线性微分方程组 $$\frac{d\vec{y}}{dx} = A\vec{y},$$
这是有普遍求解方法的一类微分方程。 

\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.1.1. 矩阵指数函数的定义和性质  }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：设 $A$ 是一个 $n$ 阶矩阵，$e^A$ 是什么含义？} 

\item  解答：表达式 $e^A$ 的结果也是一个 $n$ 阶矩阵，它的定义为
$$e^A = E+A+\frac{1}{2!}A^2 + \cdots + \frac{1}{n!}A^n + \cdots. $$
这个级数是绝对收敛的：

\begin{enumerate}
\item  定义矩阵的模为矩阵的全部元素的绝对值的和，即 $$\lVert A \rVert = \sum\limits_{i,j=1}^{n} |a_{ij}|. $$
\item  证明 $\lVert A+B \rVert \le \lVert A \rVert + \lVert B \rVert $ 与 $\lVert AB \rVert \le \lVert A \rVert \cdot \lVert B \rVert $. 
\item  设 $\lVert A \rVert =L$, 证明上述幂级数得到的矩阵的每个位置的级数都是收敛的。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.1.2. 矩阵指数函数的性质  }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：证明下述结论：}
\begin{enumerate}
\item  {\color{red} 若 $AB=BA$, 则有 $e^Ae^B = e^{A+B}$. } 
\item  {\color{red} 矩阵 $e^A$ 的逆阵正好为 $e^{-A}$. } 
\item  {\color{red} 设 $P$ 是可逆矩阵，则有 $e^{PAP^{-1}} = Pe^AP^{-1}$. } 
\end{enumerate}

\item  解答：对幂级数进行计算。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.2.1. 常系数线性微分方程组的基解矩阵}

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 定理6.4：矩阵指数函数 $\Phi(x)=e^{xA}$ 是常系数齐次线性微分方程组 $$\frac{d\vec{y}}{dx}=A\vec{y}$$ 的一个基解矩阵。} 

\item  注：因为 $\Phi(0)=E$, 所以这个基解矩阵也称为标准基解矩阵。

\item  证明：因为 $e^{xA}$ 对 $x\in (-\infty,\infty)$ 内闭一致收敛，所以根据逐项微分可得
\begin{eqnarray*}
\frac{de^{xA}}{dx} &=& \frac{d}{dx}\left( E+xA+\frac{1}{2!}x^2A^2 + \cdots + \frac{1}{n!}x^nA^n + \cdots \right) \\ 
&=& A + xA^2 + \cdots + \frac{1}{(n-1)!}x^{n-1}A^n + \cdots \\ &=& Ae^{xA}. 
\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.2.2. 例子6.2.1. }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：设 $A=\begin{bmatrix} a_1 & 0 \\ 0 & a_2 \end{bmatrix}$, 求 $e^A$. } 

\item  解答：
\begin{eqnarray*}
e^{A} &=& E + A + \frac{1}{2!}A^2 + \frac{1}{3!}A^3 + \cdots + \frac{1}{n!}A^n + \cdots \\ 
&=& \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}  
+ \begin{bmatrix} a_1 & 0 \\ 0 & a_2 \end{bmatrix} 
+ \frac{1}{2!} \begin{bmatrix} a_1 & 0 \\ 0 & a_2 \end{bmatrix}^2 
+ \cdots 
+ \frac{1}{n!} \begin{bmatrix} a_1 & 0 \\ 0 & a_2 \end{bmatrix}^n 
+ \cdots \\ 
&=& \begin{bmatrix} e^{a_1} & 0 \\ 0 & e^{a_2} \end{bmatrix}. 
\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.2.3. 例子6.2.2. }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：设 $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\  0 & 1 \end{bmatrix}$, 求 $e^A$. }

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  先将矩阵写成一个数量矩阵和一个幂零矩阵的和，
\begin{eqnarray*}
A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\  0 & 1 \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\  0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\  0 & 0 \end{bmatrix}
=: E + Z. 
\end{eqnarray*}

\item  因为数量矩阵跟其他矩阵都可以交换，所以有 $e^{xA} = e^{xE+xZ} = e^{xE}e^{xZ}$,  
其中 $e^{xE} = e^xE$, 而根据 $Z^2=O$ 是零矩阵，所以级数只有有限项，即  
\begin{eqnarray*}
e^{eZ} = E+xZ+O+O+\cdots = \begin{bmatrix} 1 & x \\  0 & 1 \end{bmatrix}.  
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.3.1. 若尔当标准形 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：什么是若尔当标准形？}

\item  解答：对任意 $n$ 阶矩阵，在复数范围内存在可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1}AP$ 为分块对角矩阵 $J$, 其中对角线上的每个 $J_i$ 是一个若尔当块，具体如下， 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
J=\begin{bmatrix} J_1 & & & \\   & J_2 & & \\ && \ddots & \\ &&& J_m  \end{bmatrix}, \,\,\, 
J_i = \begin{bmatrix} \lambda_i &1 & & \\   & \lambda_i &\ddots & \\ && \ddots &1 \\ &&& \lambda_i  \end{bmatrix},\,\, 1\le i\le m.
\end{eqnarray*}
} 

%\item  定理：在复数范围内，任意方阵都相似于一个若尔当标准形。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.3.2. 利用若尔当标准形求基解矩阵 }

\begin{enumerate}

\item  每个若尔当块可以写成一个数量矩阵和一个幂零矩阵的和，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
J_i = \begin{bmatrix} \lambda_i &1 & & \\   & \lambda_i &\ddots & \\ && \ddots &1 \\ &&& \lambda_i  \end{bmatrix}
= \lambda_i \begin{bmatrix} 1 & & & \\   & 1 & & \\ && \ddots & \\ &&& 1  \end{bmatrix} 
+ \begin{bmatrix} 0 &1 & & \\   & 0 &\ddots & \\ && \ddots &1 \\ &&& 0  \end{bmatrix}
=: \lambda_i E + Z. 
\end{eqnarray*}
}

\item  于是若尔当块作为幂的指数函数矩阵展开为有限项的和，
\begin{eqnarray*}
e^{xJ_i} = e^{xE}e^{xZ} = (e^x E) \left( E+xZ+\frac{1}{2!}x^2Z^2 + \frac{1}{3!}x^3Z^3 + \cdots + \frac{1}{k!}x^kZ^k \right), 
\end{eqnarray*}
其中 $k$ 是使得 $Z^{k+1}=O$ 的整数。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.4.1. 待定指数函数法 }

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：若矩阵 $A$ 的特征值互不相同，求微分方程组 $ \frac{d\vec{y}}{dx}=A\vec{y}$ 的通解。}

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  因为互不相同的特征值的特征向量组成一个线性无关的向量组，所以矩阵 $A$ 相似于对角阵。
设特征值 $\lambda_1,\lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 的特征向量按照列向量的方式排列成的矩阵为 
$P = \left( \vec{r}_1, \vec{r}_2, \cdots, \vec{r}_n \right).$
则有 $$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \lambda_1&0&\cdots & 0 \\ 0 &\lambda_2 & \cdots &0 \\ \vdots&\vdots &&\vdots \\ 0&0&\cdots&\lambda_n \end{bmatrix}=:B. $$

\item  设 $\vec{z} = P^{-1}\vec{y}$, 则 $ \frac{d\vec{y}}{dx}=A\vec{y}$ 化为 $ \frac{d\vec{z}}{dx}=B\vec{z}$.  
求出 $\vec{z}$ 后用 $\vec{y}=P\vec{z}$ 求出 $\vec{y}$. 

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.4.2. 引理6.6. }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red} 引理：微分方程组 $$ \frac{d\vec{y}}{dx}=A\vec{y}$$ 有非零解 $\vec{y}=e^{\lambda x}\vec{r}$, 当且仅当 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，而 $\vec{r}$ 是属于 $\lambda$ 的特征向量。}

\item  证明：将这个非零解代入方程，可得
\begin{eqnarray*}
&& \frac{d}{dx} \left(e^{\lambda x}\vec{r} \right) = A e^{\lambda x}\vec{r} \\ 
\Rightarrow && \lambda e^{\lambda x}\vec{r} = A e^{\lambda x}\vec{r} \\ 
\Rightarrow && \lambda \vec{r} = A \vec{r}. 
\end{eqnarray*}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.4.3. 定理6.5. }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red} 定理：设 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值 $\lambda_1,\lambda_2, \cdots, \lambda_n$. 
设 $\vec{r}_1, \vec{r}_2, \cdots, \vec{r}_n$ 是相应的特征向量，则 
$$\Phi(x) = \left( e^{\lambda_1x}\vec{r}_1, e^{\lambda_1x}\vec{r}_2, \cdots, e^{\lambda_1x}\vec{r}_n \right) $$
是微分方程组 $$ \frac{d\vec{y}}{dx}=A\vec{y}$$ 的一个基解矩阵。
}

\item  证明：因为属于不同特征值的特征向量组成的向量组是线性无关的，所以$\Phi(x)$ 的行列式的值不等于零。
所以 $\Phi(x)$ 的列向量是 $n$ 个线性无关的解向量。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.4.4. 例子3 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：求微分方程组 $\frac{d\vec{y}}{dx}=A\vec{y}$ 的通解，其中矩阵 
$$A=\begin{bmatrix} 5 & -28 & -18 \\  -1 & 5 & 3 \\ 3 & -16 & -10 \end{bmatrix}.$$  
}

\item  解答：

\begin{enumerate}

\item  从 $|\lambda E-A|=0$ 求得特征值 $\lambda=0,1,-1$, 相应的特征向量 
$$
\vec{r}_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \,\, 
\vec{r}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \,\, 
\vec{r}_3 = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}. 
$$

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.4.5. 例子3（续） }

\begin{enumerate}

\item[2.]  因此所求的通解为 
$$
\vec{y} = C_1e^{\lambda_1}\vec{r}_1 + C_2e^{\lambda_2}\vec{r}_2 +C_3e^{\lambda_3}\vec{r}_3 
= C_1\begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}
+ C_2 e^{x} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}
+ C_3 e^{-x} \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, 
$$
其中 $C_1,C_2,C_3$ 是任意常数。

\item[3.]  写成基解矩阵的形式，通解可以写为
$$
\vec{y} = \begin{bmatrix} -2 & 2e^x & 3e^{-x} \\ -1 & -e^x & 0 \\ 1 & 2e^x & e^{-x} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} C_1 \\ C_2 \\ C_3  \end{bmatrix}. 
$$


\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.4.6. 例子4 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：求微分方程组 $ \frac{d\vec{y}}{dx}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\  -1 & 1 \end{bmatrix} \vec{y}$ 的通解。}

\item  解答：
\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  先在复数范围内计算，从特征多项式 $|\lambda E -A| = \lambda^2 - 2\lambda +2$ 求出特征值 $\lambda_1=1+i$, $\lambda_2=1-i$, 相应的特征向量 $\vec{r}_1=(1,i)^t$, $\vec{r}_2=(i,1)^t$.    

\item  写出复的基解矩阵 $\Phi(x) = (e^{\lambda_1x}\vec{r}_1, e^{\lambda_2x}\vec{r}_2) = 
\begin{bmatrix} e^{(1+i)x} & ie^{(1-i)x} \\ ie^{(1+i)x} & e^{(1-i)x} \end{bmatrix}. $

\item  求出实的基解矩阵 $e^{xA} = \Phi(x) \Phi^{-1}(0)=\begin{bmatrix} e^x\cos(x) & e^x\sin(x) \\ -e^x\sin(x) & e^x\cos(x) \end{bmatrix}$. 

\item  写出通解 $\vec{y} = e^{xA}\vec{C} = C_1e^x \begin{bmatrix} \cos(x) \\ -sin(x) \end{bmatrix}
+ C_2e^x \begin{bmatrix} \sin(x) \\ \cos(x) \end{bmatrix}. $

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.4.7. 引理6.7.Part A. }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 引理：设 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的 $k$ 重特征值，设 $\vec{r}_0$ 是齐次线性方程组 
$$(A-\lambda E)^{k}\vec{r} = \vec{0} $$ 
的一个非零解。设 
\begin{eqnarray*}
\vec{r}_1 = (A-\lambda E) \vec{r}_0, \,\, 
\vec{r}_2 = (A-\lambda E) \vec{r}_1, \,\,  
\cdots, \,\,  
\vec{r}_{k-1} = (A-\lambda E) \vec{r}_{k-2}. 
\end{eqnarray*}
则微分方程组 $\frac{d\vec{y}}{dx}=A\vec{y}$ 有如下形式的非零解
$$
\vec{y} = e^{\lambda x} \left( \vec{r}_0 + \frac{x}{1!} \vec{r}_1 + \frac{x^2}{2!} \vec{r}_2 + \cdots + 
\frac{x^{k-1}}{(k-1)!} \vec{r}_{k-1}  \right). 
$$

}

\item  证明：代入微分方程组直接验证。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.4.8. 命题3：线性代数的一个定理 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 定理：设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的互不相同的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$,  设它们的重数分别为 $n_1,n_2,\cdots, n_s$. 记 $n$ 维常数列向量组成的线性空间为 $V$. 
记 $$V_i = \{ \vec{r}\in V \mid (A-\lambda_i E)^{n_i} \vec{r} = \vec{0}\}, \,\, 1\le i\le s.$$
则有 
\begin{enumerate}
\item  {\color{red} 子集 $V_i$ 是矩阵 $A$ 的不变子空间，且维数为 $n_i$. }
\item  {\color{red} 向量空间 $V$ 有直和分解 $V=V_1\oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s$. }
\end{enumerate} 
}

\item  例子：对下述矩阵，验证这个定理：
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{bmatrix} 2&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&3 \end{bmatrix}, \,\, 
A=\begin{bmatrix} 2&1&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&3 \end{bmatrix}, \,\, 
A=\begin{bmatrix} 2&1&0&0 \\ 0&2&1&0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.4.9. 定理6.6：常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵  }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 定理：设实数常数矩阵 $A$ 在复数域中的互不相同的特征值及重数为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$ 和 $n_1,n_2,\cdots, n_s$.  则微分方程组 $\frac{d \vec{y}}{dx}=A\vec{y}$ 有基解矩阵 
$$\Phi(x) = \left( e^{\lambda_1x}\vec{P}_1^{(1)}(x), \cdots, e^{\lambda_1x}\vec{P}_{n_1}^{(1)}(x), \cdots, 
e^{\lambda_sx}\vec{P}_1^{(s)}(x), \cdots, e^{\lambda_sx}\vec{P}_{n_s}^{(s)}(x) \right),$$
其中 $$\vec{P}_{j}^{(i)}(x) = \vec{r}_{j,0}^{(i)} + \frac{x}{1!}\vec{r}_{j,1}^{(i)} + \frac{x^2}{2!}\vec{r}_{j,2}^{(i)} + \cdots 
+ \frac{x^{n_i-1}}{(n_i-1)!}\vec{r}_{j,n_i-1}^{(i)}$$
是与 $\lambda_i$ 相应的第 $j$ 个向量多项式，而 $\vec{r}_{1,0}^{(i)}, \vec{r}_{2,0}^{(i)}, \cdots, \vec{r}_{n_i,0}^{(i)}$ 是齐次线性方程组 $(A-\lambda_i E)^{n_i}\vec{r}=\vec{0}$ 的 $n_i$ 个线性无关的解向量，且 $\vec{r}_{j,k}^{(i)}$ 从 $\vec{r}_{j,0}^{(i)}$ 由下式确定，
\begin{eqnarray*}
\vec{r}_{j,1}^{(i)} = (A-\lambda_i E) \vec{r}_{j,0}^{(i)}, \,\, 
\vec{r}_{j,2}^{(i)} = (A-\lambda_i E) \vec{r}_{j,1}^{(i)}, \,\, 
\cdots, \,\,  
\vec{r}_{j,n_i-1}^{(i)} = (A-\lambda_i E) \vec{r}_{j,n_i-2}^{(i)}. 
\end{eqnarray*}

}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.4.10. 定理6.6的例子 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：考虑下述实数矩阵，写出定理6.6 的结论，
{\footnotesize $$A=\begin{bmatrix} \lambda_1&1&0&0&0 \\ 0&\lambda_1&1&0&0 \\ 0&0&\lambda_1&0&0 \\ 0&0&0&\lambda_2&1 \\ 0&0&0&0&\lambda_2 \end{bmatrix}. $$ }
}

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  这里 $n_1=3, n_2=2$. 微分方程组 $\frac{d \vec{y}}{dx}=A\vec{y}$ 有基解矩阵
$$\Phi(x) = \left( e^{\lambda_1x}\vec{P}_1^{(1)}(x), e^{\lambda_1x}\vec{P}_{2}^{(1)}(x), 
e^{\lambda_1x}\vec{P}_3^{(1)}(x), e^{\lambda_2x}\vec{P}_{1}^{(2)}(x), e^{\lambda_2x}\vec{P}_{2}^{(2)}(x) \right).$$

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.4.11. 定理6.6的例子（续） }

\begin{enumerate}

\item[2.]  其中 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\vec{P}_{1}^{(1)}(x) &=& \vec{r}_{1,0}^{(1)} + \frac{x}{1!}\vec{r}_{1,1}^{(1)} + \frac{x^2}{2!}\vec{r}_{1,2}^{(1)},  \\
\vec{P}_{2}^{(1)}(x) &=& \vec{r}_{2,0}^{(1)} + \frac{x}{1!}\vec{r}_{2,1}^{(1)} + \frac{x^2}{2!}\vec{r}_{2,2}^{(1)},  \\
\vec{P}_{3}^{(1)}(x) &=& \vec{r}_{3,0}^{(1)} + \frac{x}{1!}\vec{r}_{3,1}^{(1)} + \frac{x^2}{2!}\vec{r}_{3,2}^{(1)},  \\
\vec{P}_{1}^{(2)}(x) &=& \vec{r}_{1,0}^{(2)} + \frac{x}{1!}\vec{r}_{1,1}^{(2)}, \\ 
\vec{P}_{2}^{(2)}(x) &=& \vec{r}_{2,0}^{(2)} + \frac{x}{1!}\vec{r}_{2,1}^{(2)}. 
\end{eqnarray*}
}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.4.12. 定理6.6的例子（续） }

\begin{enumerate}

\item[3.]  其中 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\vec{r}_{1,0}^{(1)} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \,\,  
\vec{r}_{2,0}^{(1)} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \,\,  
\vec{r}_{3,0}^{(1)} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \,\,  
\vec{r}_{1,0}^{(2)} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \,\,  
\vec{r}_{2,0}^{(2)} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.  
\end{eqnarray*}
}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.4.13. 定理6.6的例子（续） }

\begin{enumerate}

\item[4.]  可得具体的基解矩阵为 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\Phi(x) = e^{xA} = \begin{bmatrix}  
e^{\lambda_1x} & xe^{\lambda_1x} & \frac{x^2}{2}e^{\lambda_1x} &0 &0 \\ 
0 & e^{\lambda_1x} & xe^{\lambda_1x} &0 &0 \\ 
0 & 0 & e^{\lambda_1x} &0 &0 \\ 
0 & 0 & 0 & e^{\lambda_2x} & xe^{\lambda_2x} \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & xe^{\lambda_2x} \\ 
\end{bmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}


\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.4.14. 例子5 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：求微分方程组 {\footnotesize $\frac{d\vec{y}}{dx}=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\  -4 & -1 & 0 \\ 4 & -8 & -2 \end{bmatrix} \vec{y}$ } 的通解。
}

\item  解答：
\begin{enumerate}\itemsep0.5em 
\item  特征值 $\lambda_1=-2$ 的重数 $n_1=1$; 特征值 $\lambda_2=1$ 的重数 $n_2=2$. 
\item  属于特征值 $\lambda_1=-2$ 的特征向量 $\eta_1=(0,0,1)^t$. 
\item  从 $(A-\lambda_2E)^2\vec{r}=\vec{0}$ 求得 $\vec{r}^{(2)}_{1,0}=(11,-7,0)^t$ 和 $\vec{r}^{(2)}_{2,0}=(3,-6,20)^t$. 
\item  计算 $\vec{r}^{(2)}_{1,1} = (A-\lambda_2E)\vec{r}^{(2)}_{1,0}$. 
\item  计算 $\vec{r}^{(2)}_{2,1} = (A-\lambda_2E)\vec{r}^{(2)}_{2,0}$. 
\item  代入基解矩阵的公式 
$\Phi(x) = \left( e^{\lambda_1x}\vec{P}_1^{(1)}(x), e^{\lambda_2x}\vec{P}_{1}^{(2)}(x), e^{\lambda_2x}\vec{P}_{2}^{(2)}(x) \right).$

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.4.15. 例子6 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：求微分方程组 {\footnotesize $\frac{d\vec{y}}{dx}=\begin{bmatrix} -5 & -10 & -20 \\  5 & 5 & 10 \\  2 & 4 & 9 \end{bmatrix} \vec{y}$ } 的通解。 
}

\item  解答：
\begin{enumerate}\itemsep0.5em 
\item  特征值为 $\lambda_1=5$, $\lambda_2=2+i$, $\lambda_3=2-i$. 
\item  在复数范围内求出基解矩阵 $\Phi(x)$. 
\item  设实系数微分方程组 $\frac{d \vec{y}}{dx}=A\vec{y}$ 有复值函数解 $\vec{y}_1(x)=\vec{u}(x)+i\vec{v}(x)$, 则 $\vec{y}_2=\vec{u}(x)-i\vec{v}(x)$ 也是该微分方程组的解，由此可以得出实值函数解 $\vec{u}(x) = \frac{1}{2}[\vec{y}_1(x) + \vec{y}_2(x)]$ 与 $\vec{v}(x) = \frac{1}{2}[\vec{y}_1(x) - \vec{y}_2(x)]$. 

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.4.16. 例子7 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：求微分方程组 {\footnotesize $ \frac{d\vec{y}}{dx}=\begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\  0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \vec{y} $} 的通解。
}

\item  解答：
\begin{enumerate}\itemsep0.5em 
\item  从第三个方程 $\frac{dy_3}{dx} = 2y_3$ 可以直接求出 $y_3=C_1e^{2x}$. 
\item  第二个方程化为 $\frac{dy_2}{dx} = -y_2 + C_1e^{2x}$, 求出 $y_2=C_2e^{-x} + \frac{1}{3}C_1e^{2x}$. 
\item  第一个方程化为 $\frac{dy_1}{dx} = 2y_1 + 2C_2e^{-x} + \frac{2}{3}e^{2x}$, 求出 $$y_1=C_3e^{2x} -\frac{2}{3}C_2e^{-x} +\frac{2}{3}C_1xe^{2x}. $$

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.a. 高阶线性微分方程}

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：什么是高阶线性微分方程？}


\item  答：
\begin{enumerate}\itemsep0.5em 

\item  一般的 $n$ 阶线性微分方程为 
 $$y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x). $$

\item  齐次 $n$ 阶线性微分方程为 
 $$y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0. $$

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.b. 高阶线性微分方程}

\begin{itemize}\itemsep1em 

\item  {\color{red}问题：将三阶线性微分方程 $$y''' + a_1(x)y'' + a_2(x)y'+a_3(x)y=f(x) $$ 写成一个与之等价的线性微分方程组。}

\item  解答：记 $(y_1,y_2,y_3) = (y,y',y'')$, 则有 
{\footnotesize 
$$\frac{d}{dx}\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}  
= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1  \\ -a_3(x) & -a_2(x) & -a_1(x) \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}
+\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ f(x) \end{bmatrix}.
$$
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.1.1. 朗斯基行列式 }

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：什么是标量函数组 $\varphi_1(x), \varphi_2(x),\cdots, \varphi_n(x)$ 的朗斯基行列式？ }

\item  解答：将每个函数连续求导直至 $n-1$ 阶导函数，然后排列形成一个 $n$ 阶行列式，
{\footnotesize 
$$W(x) = \begin{vmatrix} 
\varphi_1(x) & \varphi_2(x) & \cdots & \varphi_n(x) \\ 
\varphi_1'(x) & \varphi_2'(x) & \cdots & \varphi_n'(x) \\ 
\vdots & \vdots &  & \vdots  \\ 
\varphi_1^{(n-1)}(x) & \varphi_2^{(n-1)}(x) & \cdots & \varphi_n^{(n-1)}(x) \\ 
\end{vmatrix}.$$
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.1.2. 命题4（三阶） }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}命题：设 $a_1(x), a_2(x), a_3(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上连续。齐次线性微分方程
 $$y''' + a_1(x)y'' + a_2(x)y'+a_3(x)y=0$$
的解组 $\varphi_1(x), \varphi_2(x), \varphi_3(x)$ 
在区间 $(a,b)$ 上是线性无关的，当且仅当向量函数组
\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} \varphi_1(x) \\ \varphi_1'(x) \\ \varphi_1''(x) \end{bmatrix}, \,\,\, 
\begin{bmatrix} \varphi_2(x) \\ \varphi_2'(x) \\ \varphi_2''(x) \end{bmatrix}, \,\,\, 
\begin{bmatrix} \varphi_3(x) \\ \varphi_3'(x) \\ \varphi_3''(x) \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}
在区间 $(a,b)$ 上是线性无关的。
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.1.3. 定理6.1* }

\begin{itemize}
\item  {\color{red}定理：设 $a_1(x), a_2(x), \cdots, a_n(x)$ 是区间 $(a,b)$ 上的连续函数。
考虑齐次线性微分方程 $y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0.$ 则  
\begin{enumerate} 
\item  {\color{red}该方程在区间 $(a,b)$ 上存在 $n$ 个线性无关的解 $\varphi_1(x), \varphi_2(x), \cdots, \varphi_n(x).$ }
\item  {\color{red}该方程的通解为 $ y=C_1\varphi_1(x) + C_2\varphi_2(x) + \cdots +C_n \varphi_n(x)$, 
其中 $C_1,C_2,\cdots,C_n$ 为任意常数。}
\end{enumerate}
}

\item  证明思路：化为一阶线性微分方程组
{\footnotesize 
$$\frac{d}{dx}\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_{n-1} \\ y_n \end{bmatrix}  
= \begin{bmatrix} 
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\  
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ 
\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots   \\ 
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 
-a_n(x) & -a_{n-1}(x) & -a_{n-2}(x) & \cdots & -a_1(x) 
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_{n-1} \\ y_n\end{bmatrix}. 
%+\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}.
$$
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.1.4. 定理6.2* }

\begin{itemize}
\item  {\color{red}定理：设 $a_1(x), a_2(x), \cdots, a_n(x)$ 是区间 $(a,b)$ 上的连续函数。
齐次线性微分方程 $y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0$ 的解函数组 
$\varphi_1(x), \varphi_2(x), \cdots, \varphi_n(x)$ 是线性无关的，当且仅当它的朗斯基行列式
{\footnotesize $$W(x) = \begin{vmatrix} 
\varphi_1(x) & \varphi_2(x) & \cdots & \varphi_n(x) \\ 
\varphi_1'(x) & \varphi_2'(x) & \cdots & \varphi_n'(x) \\ 
\vdots & \vdots &  & \vdots  \\ 
\varphi_1^{(n-1)}(x) & \varphi_2^{(n-1)}(x) & \cdots & \varphi_n^{(n-1)}(x) \\ 
\end{vmatrix}$$ } 
在区间 $(a,b)$ 上恒不为零。

}

\item  证明思路：考虑相应的一阶线性微分方程组。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.1.5. 例子1 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $p(x)$ 和 $q(x)$ 是区间 $a<x<b$ 上的连续函数。设 $y=\varphi(x)$ 是二阶齐次线性微分方程$y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 的一个非零解。求该微分方程的通解。
}

\item  解答：
\begin{enumerate} 
\item  设 $y=y(x)$ 是该方程的任意解，则由刘维尔公式可得
{\footnotesize $$W(x) = \begin{vmatrix} \varphi(x) & y(x) \\ \varphi'(x) & y'(x) \end{vmatrix} 
= W(x_0) \exp\left( -\int_{x_0}^{x} p(t)dt \right). $$ } 

\item  根据 $W(x) = \varphi(x)y'(x) - \varphi'(x)y(x) = \varphi^2(x) \frac{d}{dx} \left( \frac{y(x)}{\varphi(x)} \right)$, 积分可得 
{\footnotesize $$ y(x) =\varphi(x) \left[ 
C_1 + C_2 \int_{x_0}^{x} \frac{1}{\varphi^2(s)} \exp\left( -\int_{x_0}^{s} p(t)dt \right) ds \right]. $$ }

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.1.6. 定理6.3*：非齐次线性微分方程的通解 }

\begin{itemize}
\item  {\color{red}定理：设 $a_1(x), a_2(x), \cdots, a_n(x)$ 是区间 $(a,b)$ 上的连续函数。
设 $\varphi_1(x), \varphi_2(x), \cdots, \varphi_n(x)$ 是齐次线性微分方程 $y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0$ 的基本解组（即 $n$ 个线性无关的解函数）。则非齐次线性微分方程 $y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x)$ 的通解为 
$$ y=C_1\varphi_1(x) + C_2\varphi_2(x) + \cdots +C_n \varphi_n(x) + \varphi^*(x),$$
其中 $C_1,C_2,\cdots,C_n$ 为任意常数，以及特解  
$$\varphi^*(x) = \sum\limits_{k=1}^n \varphi_k(x) \int_{x_0}^x \frac{W_k(s)}{W(s)} f(s)ds,$$
其中 $W(x)$ 是基本解组 $\varphi_1(x), \varphi_2(x), \cdots, \varphi_n(x)$ 的朗斯基行列式，$W_k(x)$ 是行列式 $W(x)$ 的第 $n$ 行第 $k$ 列元素的代数余子式。 
}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.1.7. 例子2 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $y=\varphi_1(x)$ 和$y=\varphi_2(x)$ 是二阶非齐次线性微分方程 $$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$ 的相应的齐次方程的两个线性无关的特解。求该微分方程的通解。
}

\item  解答：直接验证可知下式第三项为上述非齐次方程的一个特解， 
{\footnotesize $$y = C_1\varphi_1(x) + C_2\varphi_2(x) + \int_{x_0}^{x} 
\frac{\begin{vmatrix} \varphi_1(s) & \varphi_2(s) \\ \varphi_1(x) & \varphi_2(x) \end{vmatrix} }
{\begin{vmatrix} \varphi_1(s) & \varphi_2(s) \\ \varphi_1'(s) & \varphi_2'(s) \end{vmatrix} }f(s)ds, $$ } 
其中 $C_1,C_2$ 是任意常数。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.2.1. 定理6.6*：常系数齐次线性微分方程的基本解组 }

\begin{itemize}
\item  {\color{red}定理：设常系数齐次线性微分方程 $$y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}y'+a_ny=0$$ 的特征方程 
$$ \lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\lambda + a_n = 0$$ 在复数域中有 $s$ 个互不相同的根 
$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$, 而且相应的重数为 $n_1,n_2,\cdots,n_s$. 则函数组 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
e^{\lambda_1x}, \,\, xe^{\lambda_1x}, \,\, &\cdots,& \,\, x^{n_1-1}e^{\lambda_1x}, \\ 
e^{\lambda_2x}, \,\, xe^{\lambda_2x}, \,\, &\cdots,& \,\, x^{n_2-1}e^{\lambda_2x}, \\ 
\cdots,&\cdots,& \cdots, \\ 
e^{\lambda_sx}, \,\, xe^{\lambda_sx}, \,\, &\cdots,& \,\, x^{n_s-1}e^{\lambda_sx}
\end{eqnarray*}
}
是这个常系数齐次线性微分方程的一个基本解组。
}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.2.2. 定理6.6*：证明思路 }

\begin{enumerate}

\item  化为常微分方程的标准形式，系数矩阵与特征行列式为 （以 $n=4$ 为例）
{\footnotesize $$A= \begin{bmatrix} 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \\ -a_4&-a_3&-a_2&-a_1 \end{bmatrix},\,\,\,  
|\lambda E -A| = \begin{vmatrix} \lambda&-1&0&0 \\ 0&\lambda&-1&0 \\ 0&0&\lambda&-1 \\ a_4&a_3&a_2&\lambda+a_1 \end{vmatrix}. 
$$ } 

\item  计算右上角的三阶子式可知，矩阵 $\lambda E -A$ 的行列式因子为 $1,1,1,f(\lambda)$. 

\item  因此不同特征值的若尔当块都只有一块。

\item  设特征值 $\lambda_i$ 的重数是 $n_i$, 若尔当块是 $J_i$, 计算 $\exp(xJ_i)$ 可得函数 
$$ e^{\lambda_ix}, \,\, xe^{\lambda_ix}, \,\, \cdots, \,\, x^{n_i-1}e^{\lambda_ix}$$ 
都是齐次方程的解。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.2.3. 例子3 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求解微分方程 $y'''-y''-2y'=0$. } 

\item  解答：
\begin{enumerate} \itemsep0.5em 
\item  代入猜想解 $y=e^{\lambda x}$, 可得特征方程 $\lambda^3 - \lambda^2 - 2\lambda =0$. 

\item  求得特征值 $\lambda_1=-1, \lambda_2=0, \lambda_3=2$. 

\item  写出通解 $$y=C_1e^{-x} + C_2e^{0x} + C_3e^{2x},$$
其中 $C_1,C_2,C_3$ 是任意常数。

\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.2.4. 例子4 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求解微分方程 $y^{(5)} -3y^{(4)} +4y''' -4y'' +3y' -y = 0.$ } 

\item  解答：
\begin{enumerate}  \itemsep0.5em 
\item  特征方程为 $\lambda^5 - 3\lambda^4 +4 \lambda^3 - 4\lambda^2 +3 \lambda - 1 = 0$. 

\item  特征方程分解因式为 $(\lambda-1)^3(\lambda^2+1)=0$. 

\item  特征值为 $\lambda_{1,2,3}=1, \lambda_{4,5} = \pm i$. 

\item  写出通解 $$y=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^{x} + C_4\cos(x) + C_5\sin(x),$$
其中 $C_1,C_2,C_3,C_4,C_5$ 是任意常数。

\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.2.5. 例子5 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求解微分方程 $$y'' +\beta y = f(x),$$ 其中 $\beta>0$ 是常数，$f(x)$ 是区间 $a<x<b$ 上的连续函数。} 

\item  解答：
\begin{enumerate}   \itemsep0.5em
\item  首先求得齐次方程的基本解组为 $\varphi_1(x) = \cos(\beta x)$, $\varphi_2(x) = \sin(\beta x)$. 

\item  根据例子6.3.2，可得非齐次方程的一个特解为 
{\footnotesize 
$$y(x) 
%= \int_{x_0}^{x} \frac{\begin{vmatrix} \varphi_1(s) & \varphi_2(s) \\ \varphi_1(x) & \varphi_2(x) \end{vmatrix} }
%{\begin{vmatrix} \varphi_1(s) & \varphi_2(s) \\ \varphi_1'(s) & \varphi_2'(s) \end{vmatrix} }f(s)ds 
= \int_{x_0}^{x} \frac{\begin{vmatrix} \cos(\beta s) & \sin(\beta s) \\ \cos(\beta x) & \sin(\beta x) \end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix} \cos(\beta s) & \sin(\beta s) \\ -\beta\sin(\beta s) & \beta\cos(\beta s) \end{vmatrix}} f(s)ds 
= \frac{1}{\beta} \int_{x_0}^{x} \sin(\beta x-\beta s) f(s)ds. 
$$
}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.2.6. 例子6 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求解微分方程 $y''' +3y'' +3y' +y = e^{-x}(x-5).$ } 

\item  解答：
\begin{enumerate}   \itemsep0.5em
\item  特征方程为 $\lambda^3 + 3\lambda^2 + 3\lambda + 1 = (\lambda+1)^3$, 可得特征值 $\lambda_{1,2,3}=-1$. 

\item  设非齐次方程有特解 $y=x^3(ax+b)e^{-x}$, 其中 $a,b$ 待定。

\item  代入非齐次方程，可得 $a=-\frac{5}{6}$, $b=\frac{1}{24}$. 

\item  非齐次方程的通解为 $$y=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^{-x} + x^3\left( -\frac{5}{6} +\frac{1}{24}x \right) e^{-x}. $$
其中 $C_1,C_2,C_3$ 是任意常数。

\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.2.7. 例子7 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求解微分方程 $y'' +4y' +4y = \cos 2x.$ } 

\item  解答：
\begin{enumerate}   \itemsep0.5em
\item  特征方程为 $\lambda^2 + 4\lambda +4 =0$, 求得特征值为 $\lambda_{1,2}=-2$. 

\item  设非齐次方程有特解 $y=a\cos(2x) + b\sin(2x)$, 其中 $a,b$ 待定。

\item  代入非齐次方程，可得 $a=0$, $b=\frac{1}{8}$. 

\item  通解为 $$ y=(C_1+C_2x)e^{-2x}+\frac{1}{8}\sin 2x. $$
其中 $C_1,C_2$ 是任意常数。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.2.8. 例子7（续） }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.6\textheight, width=0.8\textwidth]{ode-example-6-3-7.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.2.9. 例子8 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求解线性微分方程组 
$\left\{ \begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& x-5y, \\
\frac{dy}{dt} &=& 2x-y. 
\end{array}\right.$
}

\item  解答：
\begin{enumerate}   %\itemsep0.5em
\item  从第一个方程可得 $$y=\frac{1}{5}\left( x-\frac{dx}{dt} \right). $$

\item  代入第二个方程可得 $$\frac{1}{5}\frac{d}{dt} \left( x-\frac{dx}{dt} \right) = 2x - \frac{1}{5}\left( x-\frac{dx}{dt} \right). $$

\item  化简得二阶齐次线性方程 $$ \frac{d^2x}{dt^2}+9x =0. $$

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.2.10. 例子8（续） }

\begin{enumerate}

\item[4.]  求得基本解组 $$ x_1(t) = \cos(3t), \,\,\, x_2(t)=\sin(3t).$$ 

\item[5.]  代入可得相应的 $$ y_1(t) = \frac{1}{5}\cos(3t) + \frac{3}{5}\sin(3t), \,\,\, y_2(t) = \frac{1}{5}\sin(3t) - \frac{3}{5}\cos(3t). $$

\item[6.]  通解为 
{\footnotesize $$\begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} = 
C_1 \begin{bmatrix} x_1(t) \\ y_1(t) \end{bmatrix} + C_2 \begin{bmatrix} x_2(t) \\ y_2(t) \end{bmatrix}. 
$$ } 
其中 $C_1,C_2$ 是任意常数。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题6.1.1. }

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  求齐次线性微分方程组 $\frac{d \vec{y}}{dt}=A(t)\vec{y}$ 的通解，其中 $A(t)$ 分别为 
\begin{enumerate} \itemsep0.5em
\item  $A(t) = \begin{bmatrix} \frac{1}{t} & 0 \\ 0 & \frac{1}{t} \end{bmatrix}$. 
\item  $A(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. 
\item  $A(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$. 
\item  $A(t) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题6.1.2. }

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}\itemsep0.5em

\item  求非齐次线性微分方程组的初值问题，
\begin{enumerate} \itemsep0.5em
\item  
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{l}
\frac{dx}{dt} = 1-\frac{2}{t}x, \,\, \frac{dy}{dt} = x+y-1+\frac{2}{t}x, \,\, (t>0), \\ 
x(1)=\frac{1}{3},\,\, y(1)=-\frac{1}{3}. 
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*}

\item  
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{l}
\frac{dx}{dt} = \frac{2t}{1+t^2}x,\,\, \frac{dy}{dt} = x-\frac{1}{t}y+t, \,\, (t>0), \\ 
x(1)=0,\,\, y(1)=\frac{4}{3}. 
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题6.2.1. }

\begin{enumerate}

\item  求常系数齐次线性微分方程组 $\frac{d \vec{y}}{dx}=A\vec{y}$ 的通解，其中矩阵 $A$ 分别为
\begin{enumerate} \itemsep0.5em
\item  $A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}$. 
\item  $A = \begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{bmatrix}$. 
\item  $A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -4 \end{bmatrix}$. 
%\item  $A = \begin{bmatrix} 1 & 2/3 & -2/3 \\ 0 & 2/3 & 1/3 \\ 0 & -1/3 & 4/3 \end{bmatrix}$. 
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题6.2.2. }

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}\itemsep0.5em

\item  求常系数非齐次线性微分方程组 $\frac{d \vec{y}}{dx}=A\vec{y} + \vec{f}(x)$ 的通解，其中 
\begin{enumerate} \itemsep0.5em
\item  $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix},\,\, \vec{f}(x) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$. 
\item  $A = \begin{bmatrix} 0 & -n^2 \\ -n^2 & 0 \end{bmatrix},\,\, \vec{f}(x) = \begin{bmatrix} \cos(nx) \\ \sin(nx) \end{bmatrix}$. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题6.2.3. }

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}\itemsep0.5em

\item  求微分方程组 $\frac{d \vec{y}}{dx}=A\vec{y} + \vec{f}(x)$ 满足初值条件 $\vec{y}(0)=\vec{\eta}$ 的解，其中
\begin{enumerate} \itemsep0.5em
\item  
$A = \begin{bmatrix} -5 & -1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix},\,\, 
\vec{f}(x) = \begin{bmatrix} e^x \\ e^{2x} \end{bmatrix},\,\, 
\vec{\eta} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
$. 

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题6.3.8. }

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{7}\itemsep0.5em

\item  求解有阻尼的弹簧振动方程 $$m\frac{d^2x}{dt^2} + r\frac{dx}{dt} +kx =0,$$
其中 $m,r$ 和 $k$ 都是正的常数。并就 $\Delta=r^2-4mk$ 大于、等于和小于零的不同情况，说明相应解的物理意义。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题6.3.10. }

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{9}\itemsep0.5em

\item  求解下列常系数线性微分方程：
\begin{enumerate} \itemsep0.5em
\item  $y'' + y' -2y = 2x, \,\, y(0)=0, \,\, y'(0)=1$. 
\item  $2y'' - 4y' - 6y = 3e^{2x}$. 
\item  $y'' + 2y' = 3 + 4\sin 2x$. 
\item  $y''' + 3y' -4y = 0$.
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}


